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vendredi 24 novembre 2017
icar Vesion anglaise

THEME: Mecanique
  -  _ (Anciens programmes)  -  Physique

Activité 3: : équation différentielle vérifiée par la valeur de la vitesse et résolution analytique

 

Pour modéliser la situation, on choisit de décrire la position du centre d'inertie d'un objet tombant dans un fluide par rapport à un axe (Oy) vertical vers le bas dont l'origine coïncide avec la position initiale du centre d'inertie. On notera le vecteur unitaire de cet axe.
A- Equation différentielle
1. Le mouvement étant vertical, établir l'expression du vecteur vitesse en fonction de la valeur v de la vitesse et de . En déduire l'expression du vecteur accélération.
2. Etablir les expressions vectorielles des 3 forces évoquées dans l’activité 1 à un instant quelconque (on considérera que la valeur de la force de frottement peut s'écrire kv où k est une constante).
3. Établir à l’aide de la 2e loi de Newton l’équation différentielle vérifiée par la valeur de la vitesse v du système (on mettra cette équation sous la forme y'+ay=b).
4. En déduire l’expression générale de la vitesse limite de chute (vitesse constante atteinte au bout d’un certain temps).
5. A quelle condition (théorique) ne peut-on plus calculer de vitesse limite ? Comment réaliser expérimentalement cette condition ?
6. Réécrire l'équation dans le cas où la poussée d'Archimède peut être considérée négligeable.
B- Résolution analytique de l'équation différentielle
En mathématiques, on a vu que les solutions d'une telle équation différentielle du 1er ordre sont forcément de la forme v(t)=Ae-alphat+B où A, B et alpha sont des constantes (indépendantes du temps).
7. Donner les expressions que doivent avoir alpha et B pour que les fonctions de ce type soient solutions de l'équation différentielle écrite en 6. Écrire la nouvelle expression des fonctions solutions de l'équation différentielle.
8. En tenant compte de la valeur initiale de la vitesse (nulle), déterminer la seule solution possible.

9. Donner l'allure du graphe v(t) correspondant et vérifier qu'elle est cohérente avec celle du graphe trouvé expérimentalement dans l'activité précédente.