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vendredi 24 novembre 2017
icar Vesion anglaise

THEME: Mecanique
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Modèle 1: Modèle des oscillations mécaniques

 

 

1. Phénomènes mécaniques oscillatoires, système mécanique oscillant.

Phénomène mécanique oscillatoire : phénomène mécanique au cours duquel il y a déplacement alternatif d’un système autour d’une position d'équilibre stable. On dit que les oscillations s’effectuent autour de cet état d’équilibre et le système mécanique considéré est appelé système mécanique oscillant (ou oscillateur mécanique).
S'il n'y a pas de position d'équilibre, par extension on parle aussi d'oscillations, mais de relaxations.
Les oscillations sont périodiques si le déplacement se reproduit à l’identique au bout d’une certaine durée.

2. Caractéristiques des oscillations périodiques

Les oscillations sont périodiques lorsque le mouvement se reproduit à l'identique au bout d'une certaine durée, appelée période des oscillations. Une oscillation correspond au mouvement effectué durant cette durée (entre deux passages par la même position dans le même sens).
La fréquence, en hertz, est là encore définie comme l'inverse de la période en seconde. Elle correspond aux nombre d'oscillations par seconde.
Pour décrire les oscillations, on choisit une grandeur (souvent un angle ou une longueur, etc.) dont les variations en fonction du temps permettent de décrire facilement le mouvement du système oscillant.
Pour la position d’équilibre, la valeur prise par la grandeur est choisie nulle.
La valeur maximale que prend la grandeur au cours d’une oscillation est appelée amplitude des oscillations.
Si l’amplitude des oscillations libres diminue au cours du temps, on dit qu’elles sont amorties. Pour maintenir constante cette amplitude, il faut fournir de l’énergie au système oscillant : on dit que les oscillations sont entretenues.

3. Pendules pesants, pendules simples.

Pendule pesant
On appelle pendule pesant un solide capable de tourner autour d’un axe fixe sous l’effet de son poids.
Dans la position d’équilibre, le centre de gravité G du solide est situé à la verticale de l’axe de rotation.
On définit la position du pendule par l’angle que fait OG avec la verticale, un sens positif étant choisi
L’amplitude est la valeur maximale (positive) prise par  lors d’une oscillation.
Loi d’isochronisme des petites oscillations d’un pendule pesant
Pour des oscillations de faible amplitude (inférieure à 20° environ), la période d’un pendule est indépendante de l’amplitude des oscillations : on parle d’isochronisme des petites oscillations. C'est une approximation d'autant plus satisfaisante que l'amplitude est petite.
Modèle du pendule simple
 Le pendule simple est un pendule idéalisé.

On considère en effet que
l'objet est un point placé à une distance de l’axe de rotation ;
toute la masse du pendule est concentrée en ce point ;
le fil auquel il est suspendu est de masse nulle et de longueur ;
les frottements sont nuls
On peut considérer qu’un pendule est un pendule simple si la taille de l’objet pesant est négligeable devant la longueur du fil, lui même de masse négligeable et que les frottements sont négligeables.
 Dans le cas des petites oscillations, la période propre T0 d’un pendule simple de masse m et de longueur m est : 

où g est la valeur du champ de pesanteur.
Unités :

4. Modèle du pendule élastique non amorti


Un pendule élastique non amorti est constitué d’un solide de masse m accroché à un ressort (de constante de raideur k et de masse négligeable devant m) lui même accroché à un point fixe. Les frottements sont nuls.
Soit x la position d’un point du solide repéré par rapport à la position à l’équilibre.
L’équation différentielle vérifiée par x est :
La solution générale est :
où T0 =


5. Oscillations forcées ; phénomène de résonance

Un oscillateur mécanique (dont on note la période propre T0) peut être excité par un oscillateur non amorti (appelé alors excitateur) oscillant de façon sinusoïdale à la fréquence f (période T).
 L’excitateur impose sa fréquence d’oscillation à l’oscillateur : on dit que les oscillations sont forcées.
 L’amplitude de l’oscillateur est maximale pour une certaine fréquence de l’excitateur : ce phénomène est appelé phénomène de résonance d’amplitude et est généralisable à tous les cas d’oscillations forcées. Ceci justifie qu’on qualifie dans ce cas l’oscillateur de résonateur.
 La fréquence pour laquelle l’amplitude est maximale est appelée la fréquence de résonance, notée fr.
 La fréquence de résonance est voisine de la fréquence propre de l’oscillateur : fr est proche de f0.
 La résonance est d’autant plus aiguë que l’amortissement est faible. La courbe de résonance est alors très étroite.