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jeudi 21 septembre 2017
icar Vesion anglaise

THEME: Mecanique
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Modèle 2: Éléments de modélisation du mouvement d’un satellite

 

Ces éléments de modélisation rendent compte du mouvement d’un satellite en orbite autour d'un objet dit alors "attracteur".

Champ de validité
Le mouvement est décrit dans le référentiel constitué par l'objet attracteur (référentiel héliocentrique pour le mouvement des planètes du système solaire, référentiel géocentrique pour la lune et pour les satellites artificiels en orbite autour de la Terre).
La masse du satellite est toujours considérée très petite devant celle de l'objet attracteur. Dans ces conditions, le référentiel d'étude est galiléen pour le mouvement étudié.
Seule l'interaction avec l'objet attracteur est prise en compte. Négliger l'action de tous les autres astres ou planètes est d’autant plus justifié qu'ils sont beaucoup plus éloignés que ne l'est l'objet attracteur et/ou qu'ils ont une masse bien plus faible.
Les corps doivent avoir une répartition de masse à symétrie sphérique et la distance séparant leur centre d'inertie doit être grande par rapport à leur taille.

Propriétés du mouvement
Les situations entrant dans le champ de validité défini ci-dessus peuvent être décrites par les 3 lois de Kepler (énoncés pour le mouvement des planètes dans le système solaire mais pouvant être étendues aux satellites terrestres) :
Dans le référentiel héliocentrique :
1. La trajectoire du centre de chaque planète est une ellipse dont le centre du soleil occupe un des foyers.
2. Le segment de droite reliant le centre du soleil au centre de chaque planète balaie des aires proportionnelles à la durée mise pour les parcourir (“ loi des aires ”).
3. Quelle que soit la planète considérée, le rapport entre la période de révolution (durée nécessaire pour que le satellite fasse une révolution complète autour de l’astre “ attracteur ”) et le cube du demi-grand axe de l’ellipse est constant.
La 2e loi de Newton conduit à l'équation différentielle vérifiée par le vecteur vitesse du satellite :
 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Le mouvement circulaire est un cas possible de mouvement. Dans ce cas :
- le mouvement est . . . . . . . . . . . . . . . . ;
- la force modélisant l'action de l'objet attracteur et l'accélération sont . . . . . . . . . . .et . . . . . . . . . . .

Complément :
Composantes normales et tangentielles de l’accélération instantanée, utilisation du repère de Frenet
ATTENTION, utilisable seulement pour des mouvements plans dont on connaît la trajectoire.
Le point dont on étudie le mouvement est repéré par la distance parcourue depuis un point choisi comme origine : c’est son abscisse curviligne ;
s est une grandeur algébrique (positive ou négative).

On exprime le vecteur vitesse et le vecteur accélération dans le repère de Frenet (M, t ,n ) :
- l’origine du repère est le point M (mobile)
- t : vecteur unitaire tangent à la trajectoire en M, orienté dans le sens du mouvement.
- n : vecteur unitaire normal à et orienté vers “ l’intérieur ” de la trajectoire (ou intérieur de la concavité).

où R est le rayon de courbure de la trajectoire en M (rayon du cercle tangent à la trajectoire en M)