ENSEIGNER
samedi 23 septembre 2017
icar Vesion anglaise

THEME: 2nde- Exploration de l'espace, de l'atome aux galaxies
  -  _ (Anciens programmes)  -  Physique

Activité 2: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

 

Observations :
Les Égyptiens avaient observé qu’à midi, une fois par an à une date donnée, à Syène (ville égyptienne), un bâton planté verticalement ne possédait pas d'ombre. Par contre, à Alexandrie, ville située plus au Nord, un bâton planté verticalement avait bien une ombre.
Pour interpréter cette observation, on peut proposer deux modèles différents reformulés à partir de réflexions de savants antiques :
Modèle 1 (inspiré d'Anaxagore, env. -500) :
- La Terre est considérée comme étant plane.
- Le Soleil est un astre qu’on peut représenter par un point.
- Syène est peu étendue et peut être représentée par un point S. De même, la ville d’Alexandrie peut être représentée par un point A. À midi, une fois dans l'année, le point S est exactement sous le point représentant le Soleil, contrairement au point A.
Modèle 2 (inspiré d'Ératosthène, env. -290) :
- la Terre est considérée comme étant sphérique ;
- le Soleil est à une très grande distance de la Terre, si bien que le faisceau de lumière qui parvient sur Terre peut être décrit par un faisceau de rayons parallèles ;


 Questions :

1. Confrontation entre les observations et les modèles proposés
a) Les deux schémas ci-dessus sont chacun associés à un des deux modèles proposés. Indiquer sous chacun à quel modèle il est associé.
b) Sachant que chaque schéma représente la situation à midi le jour où les observations ci-dessus sont réalisées, indiquer sur chaque schéma les emplacements des points S et A.
c) Pourquoi peut-on dire que les deux segments représentant les bâtons sur le schéma de droite sont verticaux ?
d) Sur chaque schéma, tracer au moins un rayon lumineux qui permet d'interpréter le fait que le bâton planté à Syène n'a pas d'ombre.
e) Sur chaque schéma, pour le bâton planté à Alexandrie, tracer le rayon de lumière arrivant sur Terre et passant par le sommet du bâton. Sur chaque schéma, représenter en couleur "l’ombre" du bâton.
f) Le modèle 1 est-il en accord avec l’observation faite à Syène ? à Alexandrie ?
g) Même question pour le modèle 2.
h) Peut-on dire qu’un de ces deux modèles rend mieux compte des observations que l’autre ?
i) D’après vos connaissances personnelles, lequel de ces deux modèles est aujourd’hui accepté par la communauté scientifique ?
j) D’après vos connaissances, décrire une observation en accord avec le modèle choisi dans la question précédente et en désaccord avec l'autre modèle.

2. Le rayon de la Terre selon Ératosthène
Le modèle d’Ératosthène a permis à son auteur de réaliser une mesure du rayon terrestre. En effet Ératosthène mesura :
- la distance Syène – Alexandrie : SA = 800 km.
- l’angle entre les rayons solaires et le bâton planté à Alexandrie : α1 = 7,2 °.

a) Sur le schéma ci-contre (O représente le centre de la Terre) correspondant au modèle d’Ératosthène, représenter l’angle α1.
b) Représenter l'angle au centre a2 entre les deux droites (OS) et (OA) et expliquer par un argument géométrique pourquoi cet angle a la même valeur que α1.
La distance SA correspond à un angle au centre α2, de même que le périmètre (longueur d'un tour complet) correspond à un angle de 360°.
c) En utilisant la proportionnalité entre l'angle au centre et la distance sur le cercle, exprimer le périmètre p en fonction de SA, de α2 et de la valeur 360°. Calculer ce périmètre avec le nombre de chiffres significatifs approprié.
d) Sachant que la relation entre le périmètre et le rayon R d'un cercle est p = 2πR, en déduire le rayon de la Terre.
e) Rechercher dans votre manuel la valeur du rayon terrestre aujourd’hui admise. Sachant que la mesure d’Ératosthène a été réalisée il y a plus de deux mille ans, que pensez-vous de son résultat ?


But: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

Il s’agit dans une première série de questions de confronter deux modélisations différentes d’une même expérience pour conclure que, sans apport de nouveaux éléments extérieurs, toutes deux semblent satisfaisantes du point de vue de la description du phénomène étudié. La référence aux connaissances actuelles sert alors pour trancher entre les deux modélisations. Enfin, après la description du phénomène, une deuxième série de questions permet, en réinvestissant les connaissances du chapitre 3, de faire fonctionner le modèle pour aboutir à la mesure du rayon de la terre.
Les objectifs principaux de cette activité sont donc directement liés à la notion de modèle et peuvent être identifiés de la façon suivante :
- Faire le lien entre des observations et plusieurs modèles de la situation.
- Comparer des modèles proposés pour interpréter des observations.
L’étude des deux modèles en elle-même prend du temps, mais les objectifs de cette activité ne sont réalisés que si la conclusion est bien traitée : débat dans la classe, et conclusion. Il faut donc garder du temps pour cette conclusion et bien permettre aux élèves de prendre conscience du but de cette activité.

Préparation: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

Durée : 1h.
Aucun matériel n’est nécessaire.

Savoir: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

Cette activité nécessite des savoirs mathématiques vus au collège concernant les notions d’angles alterne-interne ainsi que le lien entre l’angle au centre d’un cercle et la longueur de l’arc de cercle. Les questions concernant l’angle au centre ont été détaillées de manière à ce que les élèves n’ayant pas acquis ces notions puissent quand même faire l’activité. Ces savoirs mathématiques correspondent à la notion du programme : « repérer un angle ».
De plus, cette activité permet d’effectuer un rappel de collège sur la propagation rectiligne de la lumière.

Comportement des élèves: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

Pour la question 1e, certains élèves peuvent dessiner une ombre pour les deux bâtons en interprétant le schéma comme étant en trois dimensions. Il faut alors les guider pour qu’ils comprennent qu’il s’agit d’un plan de coupe de la situation : le Soleil est situé dans un plan vertical comprenant les deux bâtons.
Pour d’autres élèves, dans les deux modèles, l’ombre n’est pas un segment à la surface de la terre mais une surface comprise entre le rayon lumineux limite et le poteau. Il faut alors faire un rappel de collège sur l’ombre portée.

Corrigé: Deux modèles historiques du système Terre – Soleil

1. Confrontation entre les observations et les modèles proposés
a) D’après les énoncés des deux modèles, on identifie facilement à partir des représentations de la Terre que le schéma de gauche correspond au modèle 1 (la Terre est plate) et le schéma de droite est associé au modèle 2 (la Terre est sphérique).
b) Syène est « sous le soleil » sur le schéma de gauche correspondant au modèle 1 et au niveau du bâton de même direction que les rayons du soleil sur le schéma de droite (il n’a donc pas d’ombre comme nous le verrons à la question d). On peut en déduire alors la position d’Alexandrie.

Modèle 1 (inspiré d'Anaxagore, env. -500)  Modèle 2 (inspiré d'Ératosthène, env. -290)
c) Dans le modèle 2 où la terre est sphérique, la verticale en un point M de sa surface est donnée par la direction d’un segment joignant le centre de la terre et ce point M. Ce segment correspond au rayon de la sphère en M. Sur le schéma du modèle 2, lorsque l’on prolonge les segments représentants les bâtons, ceux-ci correspondent bien à des rayons de la Terre en A et S et donc se coupent au centre de la sphère représentant la Terre.
d) Sur chacun des schémas, le bâton planté "à Syène" n’arrête le trajet d’aucun rayon lumineux émis par le soleil (sauf l’épaisseur du bâton, mais on ne peut pas en voir la conséquence ou alors on raisonne sur le modèle et le modèle du bâton est une droite donc n’a pas « d’épaisseur »). Le bâton n’a donc pas d’ombre sur chacun des schémas.
e) L’ombre du bâton planté à Alexandrie est localisée sur la surface de la Terre entre le pied du bâton et le rayon lumineux arrivant sur Terre et passant par le sommet du bâton.
f) Le modèle 1 est en accord avec les observations faîtes à Syène et à Alexandrie, puisqu’il traduit bien le fait qu’à Syène un bâton n’a pas d’ombre alors, qu’au même instant, à Alexandrie un bâton en a une.
g) Même réponse que pour le modèle 1.
h) Les deux modèles semblent autant valables pour décrire les observations faîtes à Syène et à Alexandrie.
i) Le modèle 2 est le modèle aujourd’hui accepté par la communauté scientifique. Remarque : on pourra noter cependant que quand c’est suffisant pour la question posée (événement sur une petite partie de la surface de la Terre), on utilise un modèle de "Terre plate". C’est d’ailleurs ce qu’on fera ensuite dans la partie mécanique pour le sol.
j) Vue « depuis un avion ou un satellite de la terre » la Terre apparaît comme une portion de sphère ou une sphère complète (autres observations plus critiquables : les navires disparaissent à l’horizon, l’ombre de la terre sur la surface de la lune lors d’une éclipse de lune).

2. Le rayon de la Terre selon Ératosthène
a) α1 est représenté sur le schéma ci-contre.
b) α2 est représenté sur le schéma ci-contre. α1 et α2 sont des angles de même valeur car ce sont des angles alterne-interne.
c) La proportionnalité entre l’angle au centre α2 et la distance sur le cercle SA s’écrit : SA/ α2= c, où c est une constante de proportionnalité. Avec la même relation de proportionnalité, nous avons pour le périmètre du cercle p correspondant à un angle de 360° : p/360 = c. Ainsi, SA/ α2= p/360 et donc p= (360/ α2) . SA.
Application numérique : sachant que α1= α2= 7,2°, on a : p= (360/7,2) . 800= 4,0.104 km (deux chiffres significatifs ici).
d) D’après la relation de l’énoncé, nous avons donc pour le rayon R de la Terre : R= p/(2pi).
Application numérique : R= 4,0.104/(2pi)= 6,4.103 km.
e) On peut trouver la valeur suivante dans les manuels de seconde (Hatier): R= 6,38.103 km. Les deux données sont identiques si on compare avec le même nombre de chiffres significatifs. Le résultat de la mesure d’Ératosthène est donc très bon si l’on considère les moyens mis en œuvre à l’époque.